魏晋时期，中国处于三国割据状态，频繁地战乱给百姓带来苦难之余，却让当时思想特别活跃，犹如数百年前的百家争鸣一般。开明的社会氛围，思辨的社会风气，也让中国古代数学迎来了第二次高峰。如果说中国古代数学第一次高峰以《九章算术》为代表，那么第二次高峰的开启就是以刘徽的《九章算术注》与《海岛算经》为代表。
那么，刘徽到底是何许人也？鲜为人知的是，刘徽是魏晋时期大数学家，与孙权、刘禅等人处于同一时代，中国古代第二次数学高峰的开启者，还与古希腊大数学家阿基米德用同一种办法不约而同的解开同一道难题。由于刘徽在数学上的巨大成就，所以不少书上把他称作“中国数学史上的牛顿”。
与古希腊几何突然兴盛、缺少起源发展环节不同，中国古代数学可谓一步一个脚印，新石器时代遗存以及甲骨文记载，都说明早在周朝之前，中国古人已经发明十进位置制，以及能够进行四则运算。由于掌握了一定代数与几何知识，所以上古人类才能制定历法、丈量土地、测算山谷、计算产出、制造陶器等。
在距今8000年—4800年的甘肃天水大地湾遗址中，出土了四只不同形状的陶器，条形盘的容积约为264.3立方厘米，铲形容积约为2650.7立方厘米，箕形容积约为5288.4立方厘米，深腹罐容积约为26082.1立方厘米，除了箕形陶器是铲形的两倍之外，其他三种陶器大约都是十倍递增。显然，如果不掌握一定代数与几何知识，古人很难做到如此精确。
周朝建立后，将“数”列为“君子六艺”之一，当然君子六艺是贵族垄断的知识，普通平民基本接触不到。春秋战国时期礼崩乐坏，随着大批诸侯被灭国，以及很多贵族破产，知识开始下移与私学的兴起，九九乘法口诀、整数四则运算、分数、以及犹如今天计算器一般的筹算等开始普及，被越来越多的人掌握。
汉朝建立后，曾对先秦文化典籍进行过整理与抢救，在此过程中我国第一部数学专著《九章算术》被正式整理出来，其作者是谁已经不可考，荀子徒弟之一、李斯同学、汉初丞相张苍曾经校正过《九章算术》。总之，《九章算术》是一部汉初之前中国数学成就的总结性书本，一部包罗万象的数学专著，内容涵盖几何与代数学，其中最后一章讲述的就是周初商高发现的勾股定理。
随着时代的发展，人们发现《九章算术》存在一些错误，给生产生活造成了很多困惑，最典型的是圆周率，《九章算术》中提出“径一周三”的结论，定圆周率为常数三，即圆周长是直径长的三倍，以此作为圆面积公式的基础。
古人的“径一周三”结论无疑是错误的，但解题思路却非常聪明，反映了古人的智慧。古人在求证圆面积公式时，用圆内接正十二边形的面积来代替圆面积，应用“出入相补原理”，再将圆内接正十二边形拼补成一个长方形，借用长方形的面积求出圆面积。长方形是以圆内接正六边形周长的一半作为长，以圆半径作为高，最终推算出“径一周三”的结论，同时由长方形的面积公式来论证《九章算术》的圆面积公式。如果摒弃掉现代数学知识，古人这种求圆面积的思路，现代人未必能想得出来。
刘徽发现，圆内接正多边形的面积与实际圆面积，如果只用有限次数分割、拼补，那么两者之间总会存在一个误差，正多边形的面积不可能100%的与圆面积一致。因此，刘徽大胆地将极限思想和无穷小分割引入了数学证明，他从圆内接正六边形开始割圆，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体，而无所失矣。”也就是说，将圆内正多边形不断加倍，不断加倍，越多误差越小，使之无限逼近圆周，当边数不能再加时，圆内正多边形面积的极限就是圆面积了。
在用圆内接正多边形逼近圆面积的过程中，圆半径在正多边形与圆之间会有一段余径，想要正多边形与圆周合体时，必然是“表无余径”。沿着这条思路，通过大量的计算，刘徽把圆内接正多边形的周长一直推算到了正3072边形，求得了圆周率3927/1250（等于3.1416），这是当时世界上最精确的圆周率。
刘徽的割圆术不仅仅只是探索求圆周率的精确方法，以及计算圆周率这么简单，更是人类历史上首次将极限和无穷小分割引入数学证明，具有非同一般的意义。
南北朝时期，祖冲之在刘徽的基础上，进一步研究了圆周率问题，将之精确到3.1415926和3.1415927之间，达到了当时数学知识能研究出的极限值，领先了世界800多年。
无独有偶，与中国古人一样，古希腊数学家阿基米德也采用这种办法求圆周率，竟然与刘徽的高度相似。
公元前5世纪，古希腊学者提出了“化圆为方”的概念。公元前3世纪，古希腊数学家阿基米德指出，只要正多边形的边数足够多，那么圆外切正多边形的面积与内接正多边形的面积之差可以任意小。阿基米德先用内接正六边形求出圆周率的下界为3，再用外接正六边形并借助勾股定理求出圆周率的上界小于4，然后他不断加倍内外正多边形，直到内接正96边形和外接正96边形为止，最终求出圆周率的下界和上界分别为223/71 和22/7， 并取它们的平均值3.141851 为圆周率的近似值。
与古希腊相比，中国也在很早时期就提出了“化圆为方”的概念，东西方两个文明竟然不约而同地选择了同一种解题思路。与阿基米德的办法相比，刘徽提出的是不断倍增内接的正六边形，一直推到了正3072边形，总体上阿基米德与刘徽创立的“割圆术”高度相似。
除了几何领域的割圆术之外，刘徽还有很多让人炫目的成就，甚至可以说奠定了唐宋元明清数学的基础。
《九章算术》解开了很多世界先进的数学问题，比如分数四则运算，正负数运算，几何图形的体积面积计算等，但解法比较原始，也缺乏必要的证明，于是刘徽对此做了补充证明。在此过程中，刘徽最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题，同时也留下了很多开创性的成就。
在数学概念上，刘徽最早提出十进小数的概念，并用十进小数来表示无理数的立方根，还有如幂（面积），方程（线性方程组），正负数等等。在代数方面，刘徽正确地提出了加减运算的法则，改进了线性方程组的解法。在线性方程组解法中，创造了比直除法更简便的互乘相消法，与现今解法基本一致，并第一次提出了“不定方程问题”。另外，刘徽还建立了等差级数前n项和公式等。
总之，刘徽虽然没有写出自成体系的数学著作，但他在注解的《九章算术》中所运用的知识，以及以逻辑推理论证数学命题的方式，其实已经形成了一个理论体系，深刻影响了后世无数学者。鉴于刘徽在数学领域的巨大贡献，所以不少书上把他称作“中国数学史上的牛顿”。
谈及古代数学，人们往往言必称古希腊，将之视为古代数学难以逾越的巅峰，但事实上与中国相比，古希腊只在几何上比较辉煌，在代数上却非常一般，而中国古代在代数与几何上都有着非同一般的成就。
以《九章算术》来看，中国古代数学总体上并不弱于西方，如果以刘徽成就来看，当时中国代数成就要超过西方，包括古希腊时代。因此，不能因为近代以来中国落后，就贬低或否定古人的辉煌成就。
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