数学帅才克莱因及其启示

关注我们吧！打仗的时候，既需要将才又需要帅才。《三国演义》中，五虎上将是优秀的将才，诸葛孔明是优秀的帅才。相比于率领千军万马攻城掠地，诸葛亮更擅长运筹帷幄、决胜千里。打仗是这样，一个学科的发展也是这样，既需要帅才进行战略布局，又需要将才攻克具体的难题。

在数学的发展历程中，就有这样一位帅才，他不仅有伟大的数学成果，而且极富组织才能，既是哥廷根数学学派的缔造者和主将，又推动建立了哥廷根应用力学学派，为德国数学乃至世界数学的发展做出了伟大贡献。他，就是菲利克斯·克莱因（ F·Klein，1849-1925 ）。今天，中国已然步入世界数学大国之列，然而，我们距离数学强国还有相当的距离。在这样一个关键节点，揭示克莱因取得的成就及其启示具有重要意义。

首先，让我们来看克莱因取得的主要成就。数学研究方面，他提出爱尔兰根纲领，并在自守函数方面做了奠基性的工作。爱尔兰根纲领，以统一的观点用变换群对几何学作了分类，认为几何学是研究几何图形对于某类变换群保持不变的性质的学问[1]。这样，就将以往互不相关的几何学以一个统一的、合理的结构呈现，并提供了未来几何学研究的思路、内容和方法。自守函数是圆函数、指数函数、椭圆函数、双曲函数、模函数等重要函数的推广与统一，引进群论加以研究；自守函数在后来的数学发展中具有广泛的应用。可以看到，克莱因并不单是要做某些数学难题，他在某些重要领域梳理数学的历史发展，揭示其内在本质，力图找到打开未来数学世界大门的钥匙。

数学学派发展方面，他广揽人才，例如希尔伯特、闵可夫斯基、诺特、外尔等大家，振兴哥廷根数学学派。除了在纯粹数学上的成就外，他还大力提倡应用数学，创建了哥廷根应用数学学派。与此同时，他竭力促进数学、力学和其他基础学科在工程技术中的应用，并在哥廷根大学成立了应用力学系，推动了应用力学的发展。克莱因慧眼识珠，引进普朗特，哥廷根应用力学学派从此发扬光大。在数学教育方面，他大力推动数学教改，基础数学与应用数学并重，并将教改推广到全德国，培养出一大批科学与技术兼通、既有深邃眼光又能解决实际问题的人才。他的教改主张如下：

（1）教材的选择排列，应适合学生心理的自然发展；

（2）融合数学各分科，并密切与其他各学科的关系；

（3）不要强调形式的训练，应当强调实用方面、以便充分发展学生对自然界和人类社会诸现象，进行数学观察的能力；

（4）把培养学生的函数思想和空间观察能力作为数学教学的基础，其核心在于强调数学的统一性和应用，他力求代数与几何的统一，并提出把微积分与解析几何下放到中学里。

克莱因为何可以成为数学帅才呢？这和他的志向、对数学的认识、视野以及知识结构是密不可分的。他研究几何学，是要统一以往各种各样的几何学，给出未来几何学发展的规划与纲领；他来到哥廷根，是怀揣着重振哥廷根大学雄风的雄心壮志的。在经过人才的引进与团结、教育的革新与推广等方面的规划和不懈努力后，使得哥廷根成为数学家心中的圣地，成为未来数学家的摇篮。可以看到，克莱因志存高远，这是他成为数学帅才的关键之一。而且能看到他极富战略眼光，对几何学的发展、哥廷根的振兴都是有战略布局的。就对数学的认识而言，他并不把数学看成是脱离现实世界的抽象的纯粹的形式。基础数学，来源于它的应用，服务于它的应用，这样就找到了数学发展的来源与动力，数学与其应用紧密结合，极大地激发了数学发展的活力。而且，克莱因视野开阔，知识结构完善，一个视野和知识结构局限在较小领域范围之内的人是不可能成为数学帅才的。

克莱因带给我们的最重要的启示，就是要重视数学帅才，培养数学帅才。何谓数学帅才呢？数学帅才是解决数学发展战略问题的人才。那么，数学发展战略问题涵盖了哪些内容呢？首先，就数学研究本身，揭示数学的本质，为数学研究提供统一的基础，完善科学研究方法，揭示数学各部分之间的关系，揭示数学和其他学科之间的关系，建立数学或其某分支的结构体系并指明未来发展的方向等等，属于战略问题。其次，数学研究归根结底是由人来进行的，因此，人才的引进、培养和布局，加强数学工作者之间、数学工作者与其他学科人员的学术交流与合作，避免门户之见甚至是互不买账的局面，使得大家团结起来搞好数学，也属于战略问题。最后，数学的发展需要良好的土壤，数学发展战略问题还包括如何完善数学教育，发展数学文化的问题。好的数学教育，不能只有形式的训练，应该将抽象的形式与具体的应用紧密结合，使受教育者能从具体的问题中提炼出抽象的形式，能从抽象的形式回归到具体的问题。这就需要数学教育重视数学思想的培养，思想的培养，又需要文化的熏陶。试想，非数学专业的人能在闲暇的时候聊数学问题休闲，能坐在咖啡厅里交流对数学的看法，真的到了这一天，我国的数学怎会不走向强大？

今天，我国在诸多领域还被卡着脖子。为了解决卡脖子问题，国家高度重视基础学科的研究，这是相关领导人高瞻远瞩的体现。数学，是基础学科中的基础，应当与其他学科、工程技术密切结合，奠定良好的根基，实现大的发展。数学的历史从不缺少帅才——笛卡尔、牛顿、莱布尼兹、克莱因、庞加莱、希尔伯特……数学的发展呼唤着帅才，让我们一起培育适合帅才发展的土壤，迎接数学发展的新时代！

参考文献：

[1] 李文林.《数学史概论》[M], 第二版, 高等教育出版社, p243.

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标签： 数学历史故事

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