蒙古帝国是蒙古帝国，而元朝是元朝，两者不是一个概念。如果非要区分它们的话，不如说元朝也只是蒙古帝国的一部分罢了。
历史上的蒙古帝国（1206-1259）是指蒙古族的领袖孛儿只斤•铁木真（成吉思汗）在蒙古高原上建立的政权。
元朝则是成吉思汗的孙子孛儿只斤•忽必烈建立的中国王朝（1271-1368）。忽必烈在1264年就夺取了蒙古大汗的位置，但他在1271年才正式称帝建立元朝。
蒙古帝国最初兴起的时候，只有北方的蒙古地区，后来相继消灭了周边的西辽、西夏、金朝、吐蕃、大理等政权，将范围扩大到整个东亚地区。
此外，蒙古军队为了打通商路和报复花剌子模，先后发起了多次西征。蒙古帝国除了攻占东亚地区以外，还扩张到了中亚、西亚、东欧等地。
在蒙古帝国瓦解之前，蒙古军队最远推进到了东欧多瑙河流域和非洲边境。可是，这个庞大的蒙古帝国在其统治者蒙哥去世以后，由于内部矛盾（忽必烈、阿里不哥之争）而瓦解，先后产生出了四大汗国与元朝。
公元1259年，蒙古帝国的统治者蒙哥（汗）在进攻南宋时，苦于主力大军始终无法攻克坚固的钓鱼城防线，于是亲自到前线指挥作战，结果遭到宋军的炮火袭击，蒙哥身受重伤、不治身亡。
蒙哥去世以后，蒙古帝国内部出现了分裂，一部分大臣支持阿里不哥继位，另一部分则支持忽必烈继位。与此同时，扩张到东欧和埃及附近的蒙古骑兵也将主力撤走，导致蒙古帝国的扩张从此停止，再也没有进一步往西欧和非洲前进。
忽必烈最终战胜了阿里不哥，夺取了蒙古大汗的位置，但他仅能控制蒙古帝国在中国境内的领土，然后消灭了割据江南的南宋小朝廷，而这一部分由忽必烈所领导的势力，后来就形成了中国历史上的元朝，忽必烈就是元朝的开国皇帝元世祖。
可是，蒙古帝国的疆域非常辽阔，远远不只拥有中国境内的领土。由于忽必烈的继位得不到所有蒙古贵族的支持，所以蒙古帝国便瓦解为了五个政权，分别是元朝、察合台汗国、窝阔台汗国、钦察汗国（金帐汗国）、伊利汗国（伊儿韩国）。
从这种角度来看的话，元朝也只是蒙古帝国的一部分，而四大汗国同样也是蒙古帝国的一部分，这五个政权都是从蒙古帝国之中分裂出来的势力。
其中，窝阔台汗国、察合台汗国都与元朝爆发过战争，而钦察汗国、伊利汗国距离元朝本土较远，相对而言比较尊重元朝。
（蒙古帝国的分裂示意图）
在元朝的第三位皇帝、元武宗孛儿只斤•海山统治时期，元朝自称是其他四个汗国的宗主国，也就是蒙古帝国的合法继承者。由于四大汗国都不如元朝强大，所以元朝就顺理成章地取得了宗主地位。
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